por Andrés Gomberoff y Pierre Paul Romagnoli
http://www.quepasa.cl/articulo/ciencia/2012/10/3-10383-9-pareja-perfecta.shtml
No parece haber sociedad más inestable que el matrimonio. En 2011 se celebraron en Chile 66 mil matrimonios y se produjeron 47 mil divorcios. ¿Puede la ciencia hacer algo para mejorar el éxito? Probablemente no. Sería extraño que las matemáticas pudiesen abordar este problema tan complejo.
La ciencia, sin embargo, suele avanzar sin pensar demasiado en aplicaciones, simplificando tanto la realidad, que finalmente la situación a estudiar es apenas la sombra de la original. Lo curioso es que la mayoría de las veces este juego nos termina premiando de una u otra manera. En algunos casos, incluso con el Nobel. Sucede que muchas veces una buena idea que parte como una pregunta ingenua, movida sólo por curiosidad y un infantil deseo de juego, encuentra un inesperado nicho en el lugar menos pensado. Es lo que ocurrió al menos con uno de los galardonados con el Premio Nobel de Economía 2012, el estadounidense Lloyd S. Shapley.
El matemático y economista publicó en 1962 un artículo en colaboración con David Gale, el que tenía un título tan divertido como misterioso: “Admisión universitaria y la estabilidad del matrimonio”. Una de las preguntas que se hacían era la siguiente. Suponga que hay un grupo de personas, todas solteras, en que la mitad son hombres y la mitad mujeres. Suponga que queremos emparejarlos a todos de modo de dejarlos tan contentos como podamos. Un criterio posible para modelar cuantitativamente esta alegría es lo que estos investigadores llamaron estabilidad del matrimonio. Ésta se logra cuando, tras emparejar a todas las mujeres con todos los hombres, no existe un hombre y una mujer que preferirían haber quedado juntos -o sea, que él era primera preferencia de ella y viceversa- y que sin embargo fueron emparejados con otras personas. La pregunta es entonces: dado este conjunto de hombres y mujeres, cada uno de los cuales tiene un claro ranking de preferencias de posibles parejas, ¿existe algún modo estable para emparejarlos?
Si bien las complejidades del matrimonio difícilmente podrán ser solucionadas a través de un teorema matemático como éste, resulta un buen ejemplo y una ilustración útil para un problema bastante más general, el que encuentra una aplicación más realista en el problema de la admisión universitaria. En este caso, también estudiado en el artículo, tenemos un número grande de estudiantes y un número más pequeño de carreras en distintas universidades. Los estudiantes postulan rankeando sus preferencias. Las universidades, a su vez, rankean a los estudiantes utilizando distintos mecanismos (en Chile, principalmente la PSU). La pregunta ahora es ¿existe una asignación de postulantes a cada carrera que sea estable? En este caso, una asignación estable significa que ningún alumno preferiría cambiarse a otra carrera que también lo preferiría a él (es decir, en donde él estaría rankeado por sobre el último alumno ingresado).
El trabajo de Gale y Shapley muestra que en ambos casos la respuesta es afirmativa. Diseñaron un algoritmo, hoy conocido como algoritmo de Gale y Shapley, capaz de encontrar maneras de emparejar matrimonios o de asignar a cada alumno una carrera de manera estable.
Los números del amor
Veamos el caso de los matrimonios, que es más sencillo. El procedimiento para encontrar parejas parte decidiendo un grupo que hace propuestas. Digamos que son las mujeres. Ellas han rankeado por preferencia a todos los hombres y ellos han hecho lo mismo con las mujeres. En una primera ronda, cada una de las mujeres le propone matrimonio a su primera preferencia. Una vez terminada la ronda de propuestas femeninas, los hombres conservan la mejor propuesta, rechazando las demás. Sin embargo, aún no la aceptan, pues todavía podrían recibir propuestas mejores. En una segunda ronda, las mujeres cuyas propuestas han sido rechazadas proponen matrimonio a su segunda preferencia. Los hombres repiten el procedimiento anterior, quedándose temporalmente con la mejor propuesta y rechazando las demás. Este proceso se sigue realizando hasta que ya ninguna propuesta es rechazada. En ese momento los hombres aceptan las mejores propuestas que recibieron. El algoritmo de Gale y Shapley asegura que las parejas así constituidas son estables según la definición de estabilidad antes dada.
Los científicos también muestran que no existe una única forma estable de emparejar a los individuos. De hecho, si invertimos el procedimiento, haciendo que ahora los hombres hagan las propuestas, el resultado final no será el mismo. Será, sin embargo, otro caso de matrimonio estable. Lo curioso es que,de todos los emparejamientos estables, el mejor para las mujeres es aquel que resulta cuando ellas hacen las proposiciones. Sus preferencias serán mejor atendidas que si los hombres hubiesen propuesto matrimonio.
Terapia de pareja
Si bien Gale y Shapley fueron los primeros en hacer un estudio científico del problema de asignación de estudiantes a carreras, no resultaba mucho más que un avance intelectual. En la práctica, este problema ya había sido enfrentado en terreno muchas veces. Los sistemas de postulación universitaria venían funcionando hace tiempo, adoptando metodologías que se optimizaban a través de la experiencia acumulada. Todos estos procedimientos eran más o menos similares. En 1984, el segundo galardonado con el Nobel de este año, el también estadounidense Alvin Roth, publica un artículo en el que estudia el sistema de asignación de residentes en los hospitales en los EE.UU. El algoritmo, que había sido implementado en 1952, era tremendamente exitoso, y Roth se preguntó cuáles eran los fundamentos matemáticos de su eficacia. Descubrió que el algoritmo era muy similar al de Gale y Shapley. De hecho, producía una asignación estable, en el sentido que ningún alumno hubiese preferido quedar en otro hospital que a su vez lo hubiese preferido a él antes que a alguno de los residentes ya asignados.
Tenía otra propiedad notable. Era, en la práctica, bastante inmune a la distorsión intencional de las preferencias. Sucede que para algunos algoritmos, es de conveniencia de los postulantes (a residencias o universidades) mentir respecto de sus reales rankings de preferencia. Algo que ocurre, por ejemplo, en las postulaciones a las universidades chilenas, en donde un estudiante que obtiene un puntaje mediocre, y que quiere estudiar Medicina, sabe que no será seleccionado, por lo que no le conviene marcar la carrera de Medicina como su primera preferencia. En el caso de los matrimonios, sin embargo, no hay una estrategia mejor que la verdad. Siempre lo más conveniente es marcar las preferencias reales. Roth mostró que el problema de los residentes y hospitales nunca es totalmente inmune a ser manipulado, pero que es posible minimizar el efecto de esa manipulación. Encontró que el algoritmo que se usaba era muy eficaz. Había, sin embargo un problema nuevo y creciente por esos años: las mujeres comenzaban a aumentar en número en las escuelas de medicina, que en el pasado habían sido casi exclusivamente masculinas y eso significó que cada vez hubiese más parejas que querían estar en el mismo lugar durante la residencia. Esto complicaba mucho el algoritmo, cosa que Roth también discutía en su artículo de 1984. La vida de pareja parecía ser omnipresente.
De las ideas a la práctica
En 1995 el gobierno norteamericano le encarga a Alvin Roth el rediseño del algoritmo de asignación de residentes en hospitales. El nuevo algoritmo da como resultado asignaciones estables incluso cuando parejas son consideradas. Posteriormente, ayudó a diseñar otros sistemas similares de asignación de postulantes en la educación pública. Además, ideó un exitoso método para el intercambio de donantes de riñón. En este caso, personas que quieren donar uno de sus riñones a algún ser querido, pero que no pueden hacerlo por incompatibilidades biológicas, entran a un programa que encuentra a otros donantes que están en similar situación y están dispuestos a intercambiar los riñones donados.
Todos estos casos tienen en común que no es el dinero el que regula el mercado a través de oferta y demanda. Esto ocurre muchas veces cuando se trata de servicios gratuitos del Estado, o cuando existen problemas éticos al respecto. Así nace la necesidad de un mercado diseñado, que es hoy toda un área de la economía, de la cual los galardonados con el Nobel 2012 son padres fundadores.
Es muy interesante cómo, a lo largo de 15 años de historia, una idea matemática simple y profunda toma la forma de una poderosa herramienta para la política pública. Parece más notable aún a la luz del último capítulo del artículo original de Gale y Shapley de 1962, titulado “Addendum sobre la naturaleza de las matemáticas”. “El problema que hemos discutido parece tener cierto interés tanto desde el punto de vista de las matemáticas abstractas como de las aplicaciones prácticas”, comentan los autores. También subrayan cómo un razonamiento matemático no requiere de fórmulas o tecnicismos. “La diferencia entre un matemático y otra gente es que el matemático es capaz de concebir un argumento que requiere más de dos pasos”, ironizan. Habría que ver si esta capacidad de la que se vanaglorian les posibilitará resolver algún día el problema original. El de verdad. El importante. Predecir de una vez la estabilidad de un matrimonio.
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Comment: Este último problema se podría describir como lograr el ajuste en el apoyo mutuo de dos columnas inestables, en deterioro, a la que se les mueve (permanente u ocasionalmente) el piso.
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